当地时间7月23日，北京大学2007级本科校友邓煜荣获菲尔兹奖。从北大数院出发，他一路走向数学研究前沿，在希尔伯特第六问题等重大课题上取得突破。
获奖前夕，邓煜接受北京大学专访，回望在北大的学习经历，讲述那些影响他数学道路的老师、课程与研究训练；也围绕希尔伯特第六问题、国际数学家大会报告、科研中的长期积累与关键转折，分享自己如何选择问题、发展方法、面对停滞，并谈及合作、创新、人工智能与青年学者成长。
在这场对话中，他一次次回到数学研究最朴素的起点：做自己真正喜欢的事情，享受思考、探索和研究的过程。
当前工作
PDE、动理学极限与ICM报告
Q：首先祝贺您受邀在2026年国际数学家大会作报告。请问您收到邀请时是什么感受？这次ICM报告中，您最希望向参会的同行们传达什么？
A：当时收到邀请的时候还是挺高兴的吧。关于报告内容，我这几年所做的一系列工作，虽然分别属于临界或次临界情形，但都与高阶展开这一主线有关：当我们需要进行任意高阶、甚至无穷阶展开时，怎样控制其中出现的量，并处理随之而来的复杂组合结构。大约从2018年开始，我的很多工作都围绕这一主题展开。我希望在此次ICM报告中以此为主线，介绍临界问题中高阶展开和组合控制的共同框架，以及这些方法本身所体现的数学趣味。之后为ICM会议文集撰写的文章，也会围绕这个主题展开。
Q：您与Zaher Hani、马骁合作的长时间推导Boltzmann方程的工作，被认为在Lanford短时间结果之后迈出了关键一步。能否请您用相对通俗的方式介绍一下：从微观粒子系统到Boltzmann方程的严格推导，这一问题的核心意义和难点是什么？
A：从问题本身来看，Lanford的经典结果给出了短时间内从微观硬球粒子系统到Boltzmann方程的严格推导。此后的许多工作也主要建立在短时间或扰动情形下：可以进行级数展开，并证明展开收敛。到了长时间尺度，简单地延续这种做法就不再成立。我们必须把一个很长的时间区间分成许多短时间层，并逐层控制统计信息的传播。
这一问题的核心意义之一，是从微观层面的时间可逆动力学严格推出宏观层面的时间不可逆方程。采用统计力学的观点后，系统从零时刻演化到正时间的过程中，记录碰撞历史的对象会不断变得复杂；这种复杂性的增长，也使不可逆性在证明中清晰地显现出来。
技术上的关键，是控制分层展开中出现的大量复杂的图表，可以把它们理解为广义的费曼图或碰撞历史图。此前的文章没有处理过如此复杂的图表，因此我们必须引入新的分析估计和组合算法，才能在长时间内统一控制这些展开项。
Q：您此前与Zaher Hani关于wave kinetic equation严格推导的工作，也是在长时间尺度上为波湍流理论提供严格数学推导。请问您觉得这一系列工作与Boltzmann方程推导的工作，最深刻的相似性和差异性分别是什么？
A：最深刻的相似性，是wave kinetic equation可以看作Boltzmann方程在波系统中的对应物：前者描述波之间的相互作用，后者描述粒子之间的碰撞。从数学上看，两类问题都具有临界性质，都需要把展开推进到任意高阶，并通过图表化和组合化的方法控制海量展开项。因此，它们在总体证明框架上是相通的。
差异则体现在具体结构上。波动动理学问题和粒子系统中的图表、积分核及奇异性并不相同。我们最初以为Boltzmann方程的推导可以直接沿用wave kinetic equation中的算法，但后来发现粒子碰撞会带来新的奇异情形，原有的约化算法不能直接使用，必须重新发展一套适合Boltzmann问题的组合切割与约化方法。
Q：从wave kinetic equation到Boltzmann equation，您似乎把某些思想和技术从一个体系迁移到了另一个体系。现在回头来看，您认为这种迁移是事先有明确预期，还是在研究过程中逐渐显现出来的？
A：这种迁移在方向上是有明确预期的。wave kinetic equation与 Boltzmann方程在物理上本来就存在对应关系：一个研究波的相互作用，一个研究粒子的相互作用。我们此前完成wave kinetic equation的相关工作后，在2022年底开始深入了解Boltzmann方程的长时间推导问题，当时就预期此前形成的总体框架应当能够迁移过去，因此这一步对我们来说并不意外。
但具体技术并不是预先完全看清的。早在2021年关于wave kinetic equation的工作中，我们就意识到必须展开到非常高的阶数，并从零开始研究如何处理相应的图。后来逐渐发现，可以把复杂图约化为若干具有良好估计的基本结构，由此形成组合算法。到了Boltzmann问题，我们起初以为会使用类似算法，但新的奇异性迫使我们重新设计整个处理方案。因此，更准确地说，框架层面的迁移是预期之中的，而真正有效的具体算法是在研究过程中逐渐显现出来的。
2025年春季邓煜回北大访问，在北京国际数学研究中心作报告
Q：您与Andrea Nahmod、岳海天等合作者在probabilistic PDE方向也有一系列重要工作，包括随机张量、随机性的传播、Gibbs测度不变性以及非线性色散方程的适定性问题。能否请您简要介绍一下这些工作及其意义？这些工作与您后来关于wave kinetic equation和Boltzmann equation的研究之间是否有内在联系？您如何看待probabilistic PDE在未来PDE研究中的位置？
A：我此前与Andrea Nahmod、岳海天等合作者围绕随机初值下的非线性色散方程开展了一系列工作，包括随机张量、随机性的传播、几乎处处适定性以及Gibbs测度不变性。这条研究线的一个核心特点，是所处理的问题通常处于次临界范围：展开只需要做到有限阶，但所需阶数会随着次临界余量而变化，原则上可以很高。
另一方面，随机初值往往具有多尺度结构，不同频率尺度同时存在，因此主要困难之一是控制高频与低频之间的相互作用。随机张量等方法，正是为了系统地组织和估计这些复杂的随机多线性结构。从更广的角度看，这与随机偏微分方程中的正则结构、paracontrolled分析等理论所关注的高低频相互作用也有相通之处。Gibbs测度问题还与量子场论中的Φ⁴型测度密切相关，其中同样存在临界与次临界之分。
这些工作与后来的wave kinetic equation和Boltzmann equation研究既有联系，也有互补性。概率PDE中的主要困难是多尺度的高低频作用，但只需有限阶展开；动理学极限问题通常没有同样的多尺度困难，却因为处于临界情形而需要任意高阶展开。大约在2019年前后，这两条研究线曾交替推进，一个问题中的进展也常常帮助理解另一个问题。
我认为probabilistic PDE在未来仍会是非常重要的方向。PDE的解可能具有极其复杂的行为，而概率观点提供了一种研究“典型解”或“一般解”的方式，比如说well-posedness是否以概率1成立。真正困难而重要的问题，是怎样把短时间内的高概率性质传播到长时间，目前我们对这种长时间传播还缺少足够有力的工具。
Q：您的研究兴趣非常广泛，横跨非线性色散方程、波动方程、流体方程、随机初值、统计物理等方向。请问对于PDE和数学物理未来的发展，您有哪些特别期待的方向？在短期内有哪些感兴趣或者希望解决的问题？
A：我目前仍然非常关注临界性问题，其中还有很多重要问题没有解决，例如Yang–Mills方程相关问题本质上也具有临界性，仍然存在很多困难。临界问题之所以重要，是因为常规的有限阶扰动和估计往往不够，需要新的高阶展开、组合结构或其他全新方法。
另一个我很感兴趣的方向，是从概率角度理解PDE解的典型行为。例如，对某些超临界Schrödinger方程，我们知道存在爆破解，但目前构造出的爆破解往往非常不典型，甚至只位于有限余维数的子流形中。一个自然的问题是：在适当的概率测度下，能否证明解几乎处处整体存在，而不会爆破？我认为这一类问题非常重要。
此外，近几年计算机辅助证明也取得了很好的进展。传统上，我们常常从一个显式解出发，在其附近做扰动并证明稳定性；但许多方程并没有可用的显式解。如果能够把显式解替换成经过严格验证的近似解，那么这套方法的适用范围就会大大扩展。与之相关的方向还包括特殊解附近的稳定性，以及近似解附近的扰动理论。
无论采用概率方法还是计算机辅助方法，长时间行为仍是关键难点。短时间内，一个大概率集合上的解可能具有很好的性质，但经过长时间演化后，这个集合可能被映射到一个小概率集合，从而失去控制。如何找到能够长期传播的结构，可能需要真正全新的想法。
成长故事与科研方法
Q：您曾在北京大学数学科学学院学习，之后转入MIT，并在 Princeton跟随Alexandru Ionescu教授完成博士学位。回顾这几段求学经历，哪些训练、老师或学术环境对您的成长影响最大？求学期间有没有什么特别有趣或者让您印象很深刻的故事可以跟我们分享？
A：从北大到MIT，再到Princeton，我与很多老师有过交流，他们都在不同方面对我产生了重要影响。在北大时，我最早上的是陈天权老师的数学分析课。他的讲课方式和教材都很有特点，让我学到了很多。大二以后，我跟随刘和平老师学习调和分析，也做过一点本科生科研。那时我开始接触调和分析中的一些前沿问题，例如限制性估计和Carleman型问题。虽然当时没有做出结果，但这段训练非常重要。总体而言，北大的学习为我打下了很扎实的基础。
到MIT以后，我与Gigliola Staffilani教授交流得比较多。她让我真正看到非线性色散方程领域的前沿问题，包括当时的质量临界问题。后来，我听了Andrea Nahmod教授的一次报告，开始对随机性、概率方法和Gibbs测度问题产生兴趣。从某种意义上说，那次报告影响了我此后很多年的主要研究方向。
在Princeton，博士生导师Alexandru Ionescu教授对我的影响也很大。我博士后期的工作，是在他与Benoit Pausader等人此前关于小初值整体适定性研究的基础上发展起来的。除此之外，Ionescu教授对证明细节要求很高，同时兴趣非常广泛，涉及调和分析、流体方程、色散方程和广义相对论等领域。这些习惯和数学品味也深刻影响了我。
求学期间有两段经历令我印象很深。MIT本科最后一年课程已经不多，我曾花大约一周时间，逐页核对Colliander、Keel、Staffilani、Takaoka和Tao关于三维能量临界五次Schrödinger方程整体适定性与散射的85页长篇论文，把所有细节都检查了一遍。现在可能很难再抽出这样的时间，但当时觉得非常有意思。
另一件事发生在博士阶段。大约2013年，我在研究一个小初值问题时遇到衰减不足的困难，需要用调和分析中的TT*方法估计振荡积分。我与导师和合作者讨论后也没有立即解决。有一次我买了午饭回来，边吃边想，突然意识到可以使用极坐标，把问题转化为一维振荡积分。这个想法后来成为我们在那一方向上许多结果的起点。
2010年Putnam竞赛MIT获奖者与Richard Stanley合影，右二为邓煜，右一为Richard Stanley
Q：在您的科研生涯当中，您认为有哪些经历对您的成长和发展起到了至关重要的作用？其中是否有一些当时并不显得重要、后来却被证明很关键的转折？
A：对我而言，最重要的转折可能发生在2018年。那时我刚到USC工作，同年10月去芝加哥参加会议。会上，Zaher Hani的合作者正在报告wave turbulence方面的工作。Hani知道我此前做过一些随机性相关研究，便来问我对这个问题有什么看法。虽然我在此前几年已经没有继续做这一方向，但因为这次对话，我重新开始认真思考波湍流问题。
几乎在同一时期，岳海天到USC做博士后，也问我是否对Gibbs测度方面的问题感兴趣。我一直觉得这类问题缺少一些关键技术，也很想看看能否把新的方法引入其中。于是，这两个项目几乎同时启动。现在回头看，我此后这些年的许多工作，都可以追溯到当时几次看似平常的交流。在那个时间点，我当然不可能预见它们最终会发展到今天的程度，这也正是科研中很有意思的地方。
Q：我们注意到，您的许多文章发表在顶级专业期刊或综合性期刊上，即使在学术生涯早期也几乎如此。请问您是如何长期保持这种高质量产出的？您对一篇论文“值得写出来”有怎样的标准？
A：我感觉这应该是一个选择问题。我对文章的要求可能比较高，相应地，论文数量也会少一些。有些人能够把文章写得又快又好，但我未必能做到。对我来说，一篇文章值得写出来的标准可能是，它必须包含一个能够真正说服自己的新东西。
这个新东西不一定意味着解决了一个特别重大的问题，但作者应当清楚文章的关键点在哪里。例如，它可能在已有方法的基础上实现了一个关键突破，也可能把两个原本分离的领域结合起来。只要这种创新是实质性的，而且我能够确认它的重要性，就值得把文章写出来。
当然，说服自己和说服审稿人是两回事。审稿人的批评有时是合理的，文章确实可能存在不足；但也有些时候，审稿人并不完全了解这项工作或所在领域。作者通常最了解自己的工作，因此既要认真判断并接受合理意见，也要对自己真正认可的工作保持信心，并能够解释它为什么重要。
Q：有些观点认为，博士生即使有不那么成熟的想法，只要有新意也应该写成小文章放出来。您认可这一看法吗？您在学术生涯早期是如何处理那些不太成熟、但又可能有价值的想法的？
A：我认为这样做是可以的。一篇文章篇幅较小，并不意味着它不重要。有些想法看起来只推进了一小步，但如果抓住了关键点，也可能产生相当大的影响。
从纯数学的角度看，我仍然会采用同一个标准：你是否相信这个想法具有真正的价值，是否包含非平凡的新意。如果答案是肯定的，那么把它整理、投稿当然没有问题。相反，如果连自己都觉得它只是对已有结果的常规延伸，没有本质性的新内容，就可以再考虑一下是否需要发表。
因此，关键不在于文章大小，而在于其中是否有值得保留下来的数学内容。现实层面的要求可以纳入考虑，但不必把“小文章”与“不重要的文章”等同起来。
Q：您的多篇代表性论文篇幅很长，尤其是wave kinetic equation和Boltzmann equation推导相关工作中有复杂而漫长的逻辑链条。您在处理这类大问题时，如何保持整体布局的清晰，而不在证明细节、反复尝试或技术修补中迷失方向？
A：这些工作并不是凭空产生的，而是经历了一个逐渐积累的过程。例如，在随机张量方向，我们最早从二维Schrödinger方程中的简单情形和random averaging operator出发，随后再把已有想法逐步推广。开始一篇新工作时，我们通常已经知道某些结构可能有用，真正需要解决的是如何把它扩展到更复杂的情形。
wave kinetic equation的工作也是如此。我们先处理次临界理论，再进入临界情形；后者是一次真正的跳跃，因为技术细节发生了很大变化。完成临界情形后，长时间问题在组合算法上延续了此前的结构，同时又叠加了统计量随时间传播的证明框架和ansatz。进一步研究Boltzmann方程时，又在这些基础上加入了处理粒子系统奇异性的组合结构和新算法。
因此，如果让我在什么准备都没有的情况下直接研究长时间Boltzmann方程，我也不可能一开始就知道应当先做什么、后做什么。比较可行的路径，是先研究简单问题或特殊情形，从中识别有效思想，再逐渐走向更大、更复杂的问题。
当整个思路是这样一步步发展出来的，你会对总体框架为什么可能成立有比较强的信心。即使中间某一步暂时不会做，也更倾向于相信问题在技术上可以被解决，并继续寻找合适的方法。
邓煜在ICM2026大会上
Q：作为博士生，我们常常觉得自己的研究更像是在搬运和尝试已有方法，创新点停留在技术层面。您认为年轻学者怎样才能提升真正的创新能力，尤其是发展新工具、新框架或新视角的能力？
A：创新通常也不是凭空产生的，大部分的情况还是从已知的东西出发，通过持续思考和具体计算，逐渐看到此前没有被注意到的结构。一个重要前提是，你要知道哪些问题值得长期思考。即使暂时不知道怎样做，也可以经常回到这个问题上，不要求每一次思考都立刻产生结果。
以wave kinetic equation的长时间问题为例，我们已经完成了短时间结果，也知道原有展开框架如何运作。2021年秋天，我开始思考高阶矩会有什么表现。计算后发现，借鉴Wick定理的结构，高阶矩的主导部分正是由二阶矩的配对所产生，而其他非高斯结构在相应极限下会消失。这一观察后来还发展成了一篇研究高阶矩和非高斯情形的文章。
接着，我尝试把长时间区间切分成短时间段，并逐段传播统计量。最初我觉得这种想法过于朴素，未必能够成立。但在具体计算从0到δ、再从δ到2δ的演化时，我们发现factorized的贡献恰好保留，而non-factorized的累积量贡献消失。后来我们才认识到，这个现象与时间不可逆性密切相关。正是有了这些具体计算，长时间传播所需的ansatz才变得自然。
因此，培养创新能力的一种方式，是围绕重要问题不断做小规模、可检验的计算和思想实验。一个看似局部的非平凡观察，可能逐渐生长为新的框架。阅读文献当然也很重要，但每个人的方式不同；对我而言，更习惯先独立思考，在遇到具体困难后再有针对性地寻找文献和工具。
Q：在学术生涯早期，面对较长时间没有做出好工作的阶段，或者尝试一个问题很久但没有进展的阶段，您是如何处理迷茫、焦虑和彷徨的？
A：我当然也经历过这样的阶段。博士期间总体还好，比较明显的是博士后那几年。当时我对自己做出的部分工作并不十分满意。比如，我与合作者研究低Gevrey正则性下的无粘阻尼，其中有一项工作，我对它的思想和技术本身比较满意；但审稿人指出结论仍有一定局限性，这个批评也有道理。与此同时，我在其他方向做的一些工作，虽然思路不错，最终结果却没有达到最初希望的强度。
那段时间很难有一种立刻解决焦虑的方法，只能尽量调整。有时我会出去旅行、换一换心情，回来后再慢慢继续。如果手头的问题都卡住了，也可以考虑一些新的问题，让自己不至于把全部希望压在同一个项目上。
我觉得比较重要的是，尽量让自己始终处于一种“还有一点希望”的状态。哪怕某个项目最后没有做出来，只要还有一个值得尝试的方向或一个想继续验证的念头，就比较容易维持前进的动力。科研中并不是每一次尝试都会成功，但保持这样的念想，本身就是度过停滞期的一种方法。
Q：在日常科研中，您如何平衡独立思考、阅读文献和与他人交流的时间？对于博士生来说，怎样判断一个问题思考到什么时候应该继续自己想，什么时候应该去找人讨论？
A：找人讨论通常不是坏事，任何时候都可以讨论。但从训练角度看，学生也需要经历独立思考的过程，因此不能把所有困难都立即交给别人。这个尺度很难用一个统一标准规定，主要还是要根据自己对问题的投入程度来判断。
我的习惯是先自己想。我读文献相对不算很多，更倾向于先把问题在自己的框架中推一遍；如果遇到不了解的工具，或者确实不知道下一步怎么做，再有针对性地查文献、询问别人，或者借助AI寻找相关线索。
对博士生而言，一个比较自然的判断是：你是否已经充分尝试了自己能想到的路线。如果仍然不断有新想法，就可以继续独立思考；如果已经很长时间想不出新的推进方式，也看不到怎样绕过障碍，这时去读相关论文或与他人讨论完全正常。
Q：您的重要工作既有独立完成，也有与合作者长期深入合作的成果。您如何理解数学研究中的独立性与合作性？好的合作通常是怎样开始、推进并保持创造力的？
A：我觉得合作应该是一件很自然的事情，比如说几个人同时对一个问题感兴趣，而且各自熟悉的技术或研究方向恰好互补，就可以从讨论开始，看看彼此的想法能否结合。
例如，我最近与申皓合作研究四维Anderson模型这一临界随机偏微分方程，前两天在arXiv上贴了一篇文章。这个问题最早与朱湘禅在德国的时候的一次提问有关，在临界SPDE中进行展开时会出现发散，应该怎样控制。后来我们在SLMath的一次活动中再次讨论这个问题。申皓提到其中涉及算子求逆，而我想到，在此前的波湍流研究中，我们也遇到过算子求逆，并通过构造parametrix和高阶展开证明可逆性。这个联系成为合作的起点。
进一步研究后，我们发现需要把展开推进到大约|log ε|阶。我对任意高阶展开、发散级数及其组合控制比较熟悉，而申皓对随机偏微分方程和抛物型方程的技术更熟悉，所以有很多相关的问题我会问他。比如说最初我想在Fourier空间中处理，讨论后发现物理空间的方法对抛物型方程更合适。
Q：回顾从早期做非线性色散方程到随机初值问题，再到后来进入波湍流与动力学极限，您觉得自己的数学品味发生过怎样的变化？现在您眼中“好问题”的标准是什么？
A：我比较看重两类问题。第一类是真正从物理中产生、与实际物理机制密切相关的问题。第二类是从已有数学结果出发，通过一个非平凡观察生发出来的问题。基于这样的观察提出的问题，通常会是好问题。提出者自己一般也能够感受到其中真正新的地方。比如说之前对于well-posedness的研究通常是deterministic的，但是我们知道并不是所有方程都有deterministic well-posedness，所以就会问类似于generic well-posedness的问题，那些表现不好的解在解空间里是否是一个很小的集合。
我平时会在必要时阅读一些物理文章，也会与物理学家讨论。比如2025年我看到有一个物理学家写的文章，提到wave kinetic theory中是否存在与Boltzmann方程类似的大偏差理论；还有比如说如果wave kinetic equation出现爆破，相应的Schrödinger方程解会表现出什么性质；又或者，在远长于Lanford时间和我们目前结果所覆盖时间尺度的情况下，Boltzmann方程是否需要出现修正项，物理学家有些报告对此也会提出一些猜测。这些问题未必都有肯定答案，但它们来自真实机制和非平凡观察，因此非常有意思。这些猜测，当下未必立刻有用；但在之后的研究中，你可能突然意识到它恰好提供了新的视角。
Q：您会使用AI或计算机工具辅助自己的学习、写作或研究吗？对于未来AI参与数学研究，尤其是纯数学和数学物理中的证明发现，您持怎样的态度？
A：我会使用AI，而且总体感受是，它已经让很多研究环节方便了不少。对于一些我基本确定为真的简单结论，如果自己完整推导还需要一些时间，我会让AI给出证明，再进行检查。有时它也能补充我不知道的知识，例如某个组合计数问题所对应的已有结构或标准结论。
对于有一定难度的引理，我也会询问AI是否有思路。我们最近的一项工作中，有一个主要命题的特殊情形，我连续几天没有解决，GPT给出了一个非常简单的证明，很快处理了那个特例。后来我们发现这种证明无法推广，因此没有把它写入最终文章，但它至少提供了一个有价值的思路。这说明AI即使不能直接完成最终证明，也可能帮助研究者迅速探索局部路线。
我期待未来出现一种更成熟的协作方式：人类研究者负责提出总体框架和核心思路，AI则帮助完成一部分具体、技术性的推导，填充框架，并给出可供检验的方案。现在它更多是让工作便利，将来可能真正加速数学研究。
不过，对刚进入科研的学生而言，使用时仍要保持判断力。我的做法通常是先自己思考，做一些不完全严格的推导，先判断想法是否大致合理；确认方向有希望后，再询问AI具体需要什么技术、某一步怎样实现，然后在来回反馈中逐步完善。不同人可以有不同用法，但不能因为AI给出了一段看似完整的论证，就跳过独立判断和严格核验这些必要的步骤。
邓煜在芝加哥大学讲课
传道授业
学生培养、北大经验与国际视野
Q：在指导学生或与年轻人交流时，您最看重哪些品质？是提出问题的能力、解决问题的韧性、技术执行力，还是某种数学直觉？您会如何帮助学生找到适合自己的方向？
A：我目前带学生的经历还不算很多。在芝加哥大学暂时还没有博士生，此前在USC指导的一名学生已于去年毕业。就我的经验而言，学生最重要的首先是基础。要对所在领域的基本概念、方法和核心内容足够熟悉。至于研究思路、技术能力以及对问题的判断，可以在真正做研究和持续阅读的过程中慢慢形成。
在帮助学生选择方向时，我更倾向于先让学生自己探索。他们可以先读一些东西，看看自己真正对哪些问题感兴趣。在此基础上，我再根据对学生的观察和了解，判断他的特点更适合哪类问题，并提出一些具体建议。
Q：现在许多前沿方向需要同时掌握很深的理论、很长的证明链条以及跨领域背景。对于刚进入PDE、数学物理或相关方向的学生，您建议怎样安排学习路径，如何平衡基础知识的学习与具体问题的思考？
A：根据我之前做学生时候的经验，真正基础的知识还是必须的。但对于一篇很长、结构很复杂的前沿论文，没有必要一开始就把每一个细节全部掌握。比如说wave turbulence方面的话，我们相关的文章确实都比较长，可以先对整体框架有一个大致了解，再随着具体问题逐步深入。
在具备基本基础之后，我建议尽早尝试自己做一些具体问题。这里不一定是立刻开展真正意义上的原创研究，也可以从计算一个例子、补全一个证明，或者理解一个局部现象开始。具体问题会反过来帮助你理解基础知识，也会让阅读文献变得更有目的。
我本科时读过一些概率论书，当时并不清楚许多内容究竟有什么用。后来开始研究随机初值PDE，才真正理解高斯测度等概念为什么要这样定义、怎样进入分析。因此，比较合适的路径是：先掌握必要的基础，再尽早围绕问题动手，在解决问题的过程中不断扩展知识背景。
Q：您曾在北大、MIT、Princeton、Courant、USC和芝加哥大学等不同学术环境中学习或工作。您觉得中美数学教育与科研氛围有哪些差异？
A：从我个人的求学经历看，在北大的前两年更多是打基础，到了MIT的后两年则接触了更多前沿内容。不过，这种差别也可能主要来自学习阶段不同，而不完全是学校或国家之间的差异。我当年在MIT的感受是，师生整体比较放松，交流方式也更随意一些。在Princeton读博士时，学生之间的学术交流很多；MIT应该也有类似的特点。
不过不同美国学校的氛围也并不完全相同，根据我目前了解的情况，国内的数学环境已经相当不错，在很多领域的前沿研究上与国外相比丝毫不差，但主要的了解是来自于跟国内学者的交流。
Q：今天的学生拥有比过去更多资源和机会，但也更容易产生比较、焦虑和迷茫。您在求学阶段是否有过类似感受？如果面对现在的北大学生，您会怎样建议他们保持长期的专注和热情？
A：与别人比较是很难完全避免的，但还是要尽量专注于自己正在做的事情。别人很优秀，这是他的成绩；你可以慢慢追赶，也可以按照自己的节奏继续把自己的事情做好。不要因为看到别人走得更快，就立刻否定自己。
我本科在MIT时写过一篇后来发表在Analysis and PDE上的论文，当时对自己的工作还比较满意。后来看到新闻，说一位Princeton本科生在Annals of Mathematics发表了一篇只有6页的论文。我当时的第一反应也是，自己的确比不上人家。但这并不妨碍我继续做自己的事情，因为我知道自己也能够完成一些工作，并且对自己所做的事情感到满意。
在任何阶段，身边出现比自己更厉害的人都是大概率事件。现在比你强的人，将来未必一直走在你前面；不过，反超别人本身也不应当成为目标。更重要的是把注意力放回自己的成长，认真完成自己认可的事情，让自己对投入的时间和做出的工作感到满意。
Q：科研工作往往需要投入大量时间与精力，您是如何平衡科研工作与日常生活的？您有哪些兴趣爱好？
A：确实，数学研究需要专注和深入思考。我常通过徒步、散步这类户外活动放松身心。闲暇之余会看漫画、电影等，也关注足球赛事。
Q：如果请您对北大数学的学生，尤其是希望未来从事基础数学研究的同学说一句寄语，您最想说什么？
A：我最想说的是：做自己喜欢的事情。别人是否认可你、成绩和结果最终会怎样，这些事情并不完全由自己控制。但只要你所做的是真正喜欢的事情，能够享受思考、探索和研究的过程，那么这种享受本身就是一种回报。至于之后是否还会得到其他回报，可以顺其自然。
来源：“北京大学”微信公众号